摘要：高等数学中导数、定积分、级数等内容中都蕴含着丰富的无穷思想，无穷把看似互不相干的事物联系了起来。近似与精确、直线与曲线、有理数与无理数，既有差别又有联系，在无穷过程中，就可由此达彼。在数学教学中，教师有必要让学生感受到“无限”的魅力，尽量多地与学生已有的知识相联系，使学生更容易理解和把握无穷思想。
关键词：无穷；级数；定积分
数学学习中，有必要让学生感受数学外在形式的简洁美和内涵丰富的深刻美。这种美在无穷、极限问题上表现的淋漓尽致，从有限到无限思维方式要发生较大的转变，处理问题由静态发展到动态，由简单规则的几何图形发展到复杂不规则的几何图形，由特殊发展到一般。这就使得学生难以理解，是教学中的难点。
现代认知科学研究已经清楚地表明，认识并非是一个被动的反映过程，而是一个以主体已有知识和经验为基础的主动建构过程。在数学教学活动中教师不应该对知识简单的重复，而是有教师自己的分析和理解，其中包含寻找让学生容易接受知识的方法，激发学生的学习兴趣。无穷、极限方面教学时教师要尽量多地与学生已学过的内容相联系，充分展示无穷、极限的魅力，依据学生的实际情况去组织教学，使学生较好地掌握相关的数学知识。
无穷是没有穷尽，没用限度的意思，也即无限。数学中的无穷非常重要，有许多与无限相关的数学思想，数学方法。比如极限理论与微积分的思想、方法等。当人们研究无限并且考虑他的性质时，发现无限自有它的奥妙。
一、无穷个有理数的和
e这个无理数是在对数中引入的，以e为底的对数叫做自然对数，并且给出e=2.71828…，这是学生在高中时对e的认识。还有从小学就经常用到的圆周率π，也是无理数。高等数学中有很多有关无限的知识能与这些无理数联系起来，教师把这些挖掘出来，一方面能使学生进一步认识无理数，一方面能更好地把握无限，同时体会到数学的魅力。
例如：函数y= ex展开成麦克劳林级数
ex=1 +x +x2+x3 +x4 +…
为了加深学生对这个幂级数的认识，当x =1得
e=1 + + + + +…
e这个无理数可以用无穷个有理数的和表示，看似毫无关系的知识之间却存在着密切的联系，这是一种出乎意料之外的美。
同样反正切函数展开成麦克劳林级数，当x=1时有
π=4(1 - + - + …)
这里我们可以看到有理数与无理数的许多联系，这些联系帮助我们通过有理数去把握无理数。有限个有理数之和必然是有理数，无限个有理数之和则不一定是有理数了。把级数与学生已有知识建立起联系，会发现级数并不是那样生涩、遥远，还是有平易近人的一面。
二、等比级数(也称几何级数)
在等比级数中可以让学生练习求等比级数 +++…
得出的结论能又一次让学生体验到数学的奥妙。
0.是一个无限循环小数，是一个有理数，而整数和分数统称有理数，那么0.与整数和分数中的哪一个数相等呢？
0.=0.9999…
=+++…
这就是说0.是一个无穷等比数列各项的和,这个数的公比q=,首项是,用等比数列的求和公式求和，再求极限容易得出
0.=( ++…+)=1
利用无穷等比数列(｜q｜＜1)的各项和能将无限循环小数化为分数或整数。当然任意一个无穷等比数列a，aq，aq2,..., aqn,... 各项的和即等比级数，当｜q｜＜1时都可得结果。
三、无限分割
定积分的概念是从求曲边梯形的面积入手的，主要思想是无限分割、以直代曲。这些思想早在我国魏晋时期杰出的数学家刘徽就用来创立了割圆术。刘徽的割圆术是他成功应用无限分割思想和极限思想的光辉典范。刘徽为了计算圆的周长创立了“割圆术”。定积分的概念学生接受起来比较困难，在讲授求曲边梯形的面积时也介绍一下割圆术，与学生以往的知识建立联系，有助于对定积分概念的理解。
刘徽的割圆术，首先作圆的内接正六边形，其次平分每个边所对的弧，再作圆内接正十二边形，用同样的方法，继续作圆的内接正二十四边形…,显然,不管边数怎样多，圆的内接正多边形的周长我们会计算。那么这一串圆的内接正多边形与该圆周是什么关系呢？刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。“割之弥细”用圆的内接正多边形的周长近似代替该圆的周长，而圆的周长“所失弥少”。当“割之又割，以至于不可割”，既当边数无限增加时，这一串圆的内接正多边形的极限位置，“则与圆合体”。这显然是一个极限过程，只有在无限的过程中，才能真正做到“无所失矣”。
在任何有限过程中，仅仅解决了圆的周长近似计算问题，而在无限过程中，才解决了圆的周长精确计算问题。
四、包含无穷多个元素的集合
包含无穷个元素的两个集合，只要元素之间存在一一对应，那么就成这两个集合的元素个数相等。例如：自然数集{0、1、2、3、4、…}与自然数平方的集合{0、1、4、9、…}，这两个集合的元素个数是相等的。
历史上曾认为前者的元素个数大于后者的元素个数，这个“全体大于部分”
的直观原则是从有限数量的事物关系中抽象出来的，自然不适用无穷集合的情形。
无穷把有理数与无理数联系了起来，无穷把正多边形与圆联系了起来，无穷把看似互不相干的事物联系了起来，这就是数学中无穷的奥妙。在教学中充分展示这些联系不仅能使学生体验到数学的美妙，又能使学生对所学知识深刻理解和掌握。已知与未知、有限与无限、近似与精确、直线与曲线、有理数与无理数，既有差别又有联系，在无限过程中，就可由此达彼。奇妙的数学，有无穷的未知等待我们去发现、去探索，也有无穷的奥妙、无穷的快乐在其中。（作者 刘亦春 张书玲）
参考文献
[1]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义.北京：高等教育出版社.1981.
[2]徐利治.论数学方法学.济南：山东教育出版社.2001.
刘亦春（1965—），女，山东德州人，山东电子职业学院副教授。
张书玲（1970—），女，山东德州人，山东电子职业学院副教授。